اصطلاح پیراحاصلضرب امروزه در مقالات برای نشان دادن یک عملگر دوخطی استفاده می‌شود. این عملگر دوخطی با وجود اینکه ناجابه‌جایی است تا حدودی از ضرب معمولی توابع خوش‌‌رفتار تر است. پیراحاصلضرب‌ها اولین بار در نظریه‌ی عملگرهای پیرادیفرانسیل‌پذیر بانی [۱] ظهور پیدا کردند. . این نظریه نقطه عطفی در نظریه‌ی عملگرهای شبه دیفرانسیلی بود که کافمن و مِیِر در [۳] از پیشگامان آن بودند. کلمه‌ی یونانی paraدر زبان انگلیسی به « پیرا » و در فرانسه ، دقیقاً مانند تیتر مقاله‌ی [۳]، به au délà ترجمه شده است. پیراحاصلضرب‌ها از زمان پیدایش خود در سال ۱۹۶۵ نقش محوری در آنالیز و معادلات دیفرانسیل جزئی بازی کرده اند این مفاهیم با نظریه‌ی دوخطی کالدرون-زیگموند ارتباط دارد و زیر بنای بسیاری از عملگرهای دوخطی دیگر را تشکیل می‌دهند. اگر بخواهیم برخی از کاربردهای آنها را نام ببریم می‌توان به قضیه‌های مشهورT_1، Tb، کرانداری جابه‌جاگرهای کالدرون، تبدیل دوخطی هیلبرت، نظریه‌های ضرایب نقطه‌ای فضاهای تابعی و نظریه‌ی فشردگی تصحیح شده اشاره کرد.
ابتدای صفحه